教学目的：

　　（1）掌握利用三角形条件进行角的三角函数恒等式证明的主要方法，使学生熟悉三角变换的一些常用方法和技巧（如定向变形，和积互换等）。

　　（2）通过自主的发现探索，培养学生发散、创造的思维习惯和思维能力，体验数形结合、特殊一般转化的数学思想。并利用此题材做学法指导。

　　（3）通过个人自学、小组讨论、互相启发、合作学习，培养学生自主与协作相结合的学习能力和敢于创新，不断探索的科学精神。　　

　　教学对象：高一（5）班

　　教学设计：

　　一．引题：（A，B环节）

　　1．1复习提问：在三角形条件下，你能说出哪些有关角的三角恒等式？

　　拟答：

　　，

　　……

　　，

　　，

　　……

　　这些结果是诱导公式，的特殊情况。

　　1．2今天开始的学习任务是解决这类问题：在三角形条件下，有关角的三角恒等式的证明。学习策略是先分若干个学习小组（四人一组），分头在课本P233---P238，P261-266的例题和习题中，找出有三角形条件的所有三角恒等式。

　　1．3备考：期待找出有关△ABC内角A、B、C的三角恒等式有：

　　（1）P233：例题10：sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2

　　(2)P238:习题十七第6题：sinA+sinB-sinC=4sinA/2sinB/2cosC/2.

　　(3) cosA+cosB+cosC=1+4sinA/2sinB/2sinC/2.

　　(4) sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC.

　　(5)cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC.

　　(6)P264:复参题三第22题：tgA+tgB+tgC = tgAtgBtgC.

　　(7)

　　也许有学生会找出:P264--（23）但无妨。

　　1．4请各组学生分工合作完成以上恒等式的证明：

　　提示：建议先自学例题10，注意题目之间的联系，以减少证明的重复劳动。　　

　　二．第一层次的问题解决（C，D环节）

　　2．1让一个组上黑板，请学生自主地挑出有“代表性”的3题（不超过3题）书写证明过程。然后请其他某一个组评判或给出不同的证法。

　　证法备考：（1）左到右：化积---->提取----->化积。

　　（2）左到右：化积---->提取----->化积sin(A+B)/2=cosC/2

　　(3)左到右：化积--->--->留“1”提取-->化积

　　（4）左到右：化积--->提取---->化积sin2C=sin2(A+B)

　　(5)左到右：

　　（6）左到右：tgA+tgB=tg(A+B)(1-tgAtgB)

　　(7)左到右：通分后利用（4）的结果

　　2．2教师注意记录学生的“选择”，问：为什么认为你们的选择有代表性？

　　体现学法的“暗导”。选择的出发点可以多种多样，如从品种、不同的证法、逻辑源头等考虑。

　　2．3另一组学生判定结果或给出其他解法，（解法可能多样。）也可对前一组学生所选择书写的“例题”的“代表性”进行评价。教师记录之。注意学生的书写中的问题（不当的跳步等……）。

　　2．4其他证法备考：

　　1．如右到左用积化和差，（略）

　　2．利用已做的习题：

　　先一般后特殊……

　　3．几何直观：

　　左　　　　　　　　式

　　右　　　　　　　　　式

　　由此得证（4）

　 　　　　图 1

　　4．用/2-A/2，/2-B/2，/2-C/2代换A，B，C（仍保持三个角之和为）可速由（4）推出（1）；由（5）推出（2）……

　　三．探索发现练习（回朔与E环节）

　　3．1请学生以小组为单位通过观察、联想、对比、猜想、发现解决以下几项任务

　　（1）找出更多的三角恒等式。

　　（2）用发散的方式寻求更多的结果。

　　可以自主肯定的结论记为“定理”，还不能肯定的结论暂记为“猜想”

　　3．2小组活动10分钟后，组代表上前表述“发现”，交流结果。

　　3．3教师注意记录学生的发现结果，挖掘“再发现”的潜力。

　　3．4结果的“予储”

　　（1）结果一般化：如

　　对cos, tg亦有类似结果……

　　（2）变维发散三角形变四边形，如对四边形ABCD有

　　，

　　sinA+sinB+sinC+sinD=4sin(A+B)/2*[cos(A-B)/2+cos(C-D)/2]

　　=4sin(A+B)/2*cos(A+C-B-D)/4*cos(A+D-B-C)/4

　　=sin(A+B)/2*sin(B+C)/2*sin(C+A)/2

　　两边换成cos亦正确

　　进一步可探索四边形ABCD是平行四边形或是圆内接四边形时的相应结论。

　　（3）逆序发散：

　　如对（6），原等式成立，能推出A+B+C=吗？

　　举反例可知不行，可推出A+B+C=k，k是整数。

　　（4）变形式发散：

　　再如对偶联想：上面的式子该成cos怎样？……

　　（5）批判式的发散：

　　等式的反面是不等式，可以思考在三角形条件下有哪些三角函数的不等式？

　　如对锐角三角形ABC，有sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC

　　sinAsinBsinC>cosAcosBcosC。对一般三角形tgA+tgB+tgC=ctgA+ctgB+ctgC

　　恒不成立……

　　特别注意记录“意外”。

　　3．5评论与小结：

　　请学生评述本课解决的问题、自认为用到的重要方法和得到重要结果、并做小结。

　　教师记录补充（与学生互补之）---重点是学法和思维方法：怎样复习，怎样提高做题的效率，怎样学会“举一反三”，怎样用发散思维的方式提出问题……。

　　3．6作业：A类：阅读P257---P261

　　B类：（1）选择学生课上提出的三个结果，给出证明或证伪。

　　（2）改写或重写本章的小结（参看P257---P261），补充在本章的学习过程中你认为重要的方法、技巧和自己解题的心得与出错之处。

　　C类：（1）在三角形条件下，如对△ABC，你能说出哪些有关角的三角函数不等式？试找出3个并证明之。

　　（2）对代数练习册（上）第三章的复习题三中的解答题进行“压缩”处理，只选出你认为有代表性的10个习题。