1.要求掌握三角形，梯形中位线定义．

　2.要求掌握三角形、梯形中位线定理．

　3.在定理的证明和解题的过程中，培养运用“转化”思想，引导学生会添加适当的辅助线，把未知转化为已知，用已掌握的知识来研究新问题，从而提高分析问题和解决问题的能力．

【知识要点】

1.中位线概念：

　 (1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

　 (2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．

　 注意：

　 (1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的 　 线段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段．

　 (2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段．

　 (3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线．

　 2.中位线定理：

　 (1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

　 (2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．

【重点与难点分析】

重点：三角形、梯形中位线的概念及定理．

　 通过三角形、梯形中位线的概念及定理的证明的学习使学生掌握三角形、梯形中位线的定义，掌握三角形、梯形的中位线定理及其应用．

难点：

　 1.三角形中位线定理的证明，课本采用“同一法”证明的，其基础是(1)三角形中位线定理与平行线等分线段定理的推论1是互为逆命题的关系．(2)线段的中点是唯一的，过两点的直线也是唯一的．

定理证明的其它方法：

　 (1)通过旋转图形构造基本图形──平行四边形．(2)过三个顶点分别向中位线作垂线．

　 2.梯形中位线定理的证明，课本采用“化归”思想，把梯形中位线问题化归为三角形中位线问题来证明．

　 定理证明的其它方法：

　 (1)连结一条对角线 (2)过上底一端作一腰平行线 (3)过一腰中点作另一腰平等线．

　 3.通过添加辅助线解决有关三角形中位线、梯形中位线的问题，提高分析问题，解决问题的能力．

【典型例题】

　例一、

　 已知：在梯形ABCD中AD∥BC，对角线AC⊥BD，EF为梯形的中位线

　 ∠DBC=30°

　 求证：EF=AC．

　 分析：第一种证法：平移对角线AC至DG位置，将梯形问题转化为三角形问题

　 第二种证法：在特殊的Rt三角形中去求解，即证AO=AD，OC=BC得到

　 AC=(AD＋BC)

证法1：过D作DG∥AC与BC的延长线交于一点G

　 ∵AC⊥BD于O

　 ∴∠BOC=∠BDG=90°

　 ∵AD∥BC 即AD∥CG

　 ∴四边形ACGD为平行四边形

　 ∴CG=AD，DG=AC

　 ∴DG=BG，即AC=(BD＋CG)=(BC＋AD)

　 ∵EF为梯形ABCD的中位线

　 ∴EF=(BC＋AD)

　 ∴EF=AC．

　 证法2：∵AD∥BC

　 ∴∠ADB=∠DBC=30°

　 ∵AC⊥BD于O

　 ∴AO=AD，OC=BC

　 ∴AC=(AD＋BC)

　 ∵EF为梯形ABCD的中位线

　 ∴EF=(AD＋BC)

　 ∴EF=AC.

　 例二、

　 已知：在D ABC中，AG⊥BC于G，E、F、H分别为AB、BC、CA的中点．

　 求证：四边形EFGH为等腰梯形．

　 分析：要证四边形EFGH为等腰梯形即证EH∥BC，通过E、H为AB、AC中点可证，再证EF=HG=　 AC，而E、F为AB、BC中点EF=AC，GH为RtD AGH斜边上中线也可得HG=AC或证梯形EFGH同一 　 底上的两个角相等．

　 证法一：∵E、F、H分别为AB、BC、CA的中点

∴EH、EF为D ABC的中位线

∴EH∥BC，EF=AC、EH=BC

　 ∴AG⊥BC，H为AC中点

　 ∴HG=AC

　 ∴EF=HG

　 ∵EH=BC，FG＜BC

　 ∴EH≠FG

　 ∴EF不平行HG

　 ∴四边形EFGH为等腰梯形．

　 证法二：∵E、F、H分别为AB、BC、CA的中点

　 ∴EF、EH为D ABC的中位线

∴EH∥BC，EF∥AC EH=BC

∵FG＜BC

∴EH≠FG

∴EF不平行于HG

∴四边形EFGH是梯形

∴∠EFC＋∠C=180°即∠EFC=180°－∠C

∵AG⊥BC于G，H为AC中点

∴HG=AC，即HG=HC

∴∠HGC=∠C

∵∠HGB＋∠HGC=180°即∠HGB=180°－∠HGC

∴∠EFC=∠HGB

∴梯形EFGH是等腰梯形.

例三、

　 已知：在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AF为∠BAC的平分线，交BD于E，BC于F．

　 求证：OE=FC．

　 分析：欲证OE=FC需找到一条与OE相等且与FC有关的一条线段，添加辅助线过O作OG∥BC， 　 由于O为正方形对角线交点，O为AC中点，推出G为AF中点，因此有OG=FC，再通过三角形内角和定理证出∠3=∠4推出OG=OE，从而得出题证．

　 证明：过O作OG∥BC交AF于G，则∠5=∠ACB

　 ∵四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交于O

　 ∴AO=CO=OB AC⊥BD ∠BAC=∠ACB=45°∴∠5=45°

∴G为AF的中点

　 ∴OG为D AFC的中位线

　 ∴OG=FC

　 ∵AF平分∠BAC

　 ∴∠1=∠2=22.5°

　 ∴∠4=67.5°

　 ∵∠3是D AGC的外角

　 ∴∠3=∠2＋∠5=22.5°＋45°=67.5°

　 ∴∠3=∠4

　 ∴OG=OE

　 ∴OE=FC

　 例四、

　 已知：梯形ABCD中AD BC，E为AB中点，且AD＋BC=DC

　 求证：DE⊥EC，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．

　 证法1：取DC中点F，连结EF，E为AD中点，则EF为梯形的中位线

　 ∴EF∥AD∥BC EF=(AD＋BC)

∴∠1=∠5，∠3=∠6

　 ∵DC=AD＋BC

　 ∴EF=DC=DF=CF

　 ∴∠1=∠2，∠3=∠4

　 ∴∠2=∠5，∠4=∠6

　 ∴∠1＋∠3＋∠2＋∠4=180°

　 ∴∠1＋∠3=90°

∴DE⊥C，DE平分ADC，CE平分∠CD

证法2：延长CE与DA延长线交于一点F，过程略．

证法3：在DC上截取DF=AD，连结AF、BF、EF过程省．

【练习】

一、填空题：

1.已知图a中AC∥EF∥GH∥DB．AB、CD交于O，AO=OF=FH=HB=AC=2.5cm，则HG=　　 ．

2.已知图b，D ABC中AB=AC，AD⊥BC，M为AD中点，DF∥CE，AC=9cm，则AE= 　　　　 ．

3.已知图c，在梯形ABCD中AD∥EF∥BC，AE=EB，EM∥DC且EM=3.5cm，则DF= 　　　　 ．

4.已知图d，D ABC是等边三角形，AF⊥AB，EF∥DC，AE=3.5cm，则AD= 　　　　　　　 ．

二、证明题：

1.已知:如图a，AB⊥BD，DC⊥BD，O为AC中点，求证：OB=OD．

2.已知：如图b，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，求证：E是BC的中点．

3.已知：如图c， ABCD中E、F分别为AB、DC中点，AF、EC交BD于M、N，求证：BM=MN=ND．

4.已知：如图d，四边形ABCD中AD=BC，M、N分别为AB、CD的中点MN所在直线与AD、BC的延长线交于P、Q，求证：∠APM=∠BQM．

【答案、提示】

　 一、 1. 5cm 2. 3cm 3. 3.5cm 4. 7cm．

　 二、 1.提示：延长DO与AB交于E，再作OF⊥BD垂足为F．

　 2.提示：延长AC、BD交于一点F，通过证D是BF的中点，求解．

　 3.略

　 4.提示：连结AC取AC中点E，连EM、EN．